Question

已知函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
（1）當a=1時求方程|f（x）|=g（x）的解；
（2）若方程|f（x）|=g（x）有兩個不同的解，求a的值；
（3）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據方程|f（x）|=g（x），可得|x-1|（|x+1|-1）=0，由此可求方程的解：
（2）原方程有兩個不同的解，即|x-1|（|x+1|-a）=0有兩個不同的解，因為|x-1|=0時，x=1是方程的解，所以|x+1|-a=0只能有一個不是1的解，由此可求a的值；
（3）當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即不等式x²-1≥a|x-1|在R上恒成立，分類討論，去掉絕對值符號，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，方程|f（x）|=g（x）可化為|x²-1|=|x-1|，即|x-1|（|x+1|-1）=0…（2分）
由|x-1|=0得x=1，由|x+1|-1=0得x=0，x=-2，所以方程的解為-2，0，1．…（4分）
（2）原方程有兩個不同的解，即|x-1|（|x+1|-a）=0有兩個不同的解，…（5分）
因為|x-1|=0時，x=1是方程的解，所以|x+1|-a=0只能有一個不是1的解，所以a≥0，
a=0時，由|x+1|-a=0得x=-1≠1，所以a=0成立，…（7分）
a＞0時，由|x+1|-a=0得x₁=-a-1，x₂=a-1，若x₁=-a-1=1，則a=-2（舍去）
若x₂=a-1=1，則a=2，此時x₁=-3≠1，所以滿足題意的實數a的值為0或2．…（9分）
（3）原不等式在R上恒成立，即不等式x²-1≥a|x-1|在R上恒成立，
①當x≥1時，有x²-1≥a（x-1），即x+1≥a恒成立，此時x+1≥2，所以a≤2…（11分）
②當x＜1時，有x²-1≥-a（x-1），即x+1≤-a恒成立，此時x+1＜2，所以a≤-2…（13分）
綜合①②得a≤-2．…（14分）

點評：本題考查方程解，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生解決問題的能力，屬于中檔題．