Question

設(shè)AB是已知圓的直徑（如圖），C是線段AB上一點，D是此圓周上一點（不同于A、B），且|AC|=a，|BC|=b，|CD|=

ab

，則在下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

• A．|AB|≥2|CD|
• B．

  AB

  ?

  CD

  =0
• C．

  AD

  ?

  BD

  =0
• D．|AD|²+|BD|²＜4|CD|²

Answer 1

分析：對于A，利用基本不等式可知正確；對于B，利用相交弦定理，可判斷正確；對于C，AB是已知圓的直徑，所以AD⊥BD；對于D，利用勾股定理，結(jié)合基本不等式可判斷．

解答：解：∵|AB|=a+b≥2

ab

=2|CD|，∴A正確；
延長DC至E，則AC×CB=DC×CE，∵|AC|=a，|BC|=b，|CD|=

ab

，∴CE=

ab

，
∴C是DE的中點，∴AB⊥CD，∴

AB

•

CD

=0，故B正確；
∵AB是已知圓的直徑，∴AD⊥BD，∴

AD

•

BD

=0，故C正確；
∵AD|²+|BD|²=|AB|²=（a+b）²=a²+b²+2ab≥2ab+2ab=4ab=4|CD|²，故D不正確；
故選D．

點評：本題以圓為載體，考查直角三角形的射影定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圓中的性質(zhì)，利用基本不等式求解