Question

已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12項依次成等差數(shù)列，從第11項起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若存在正整數(shù)m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，請找出所有的有序數(shù)對（m，p），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）各項均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12項依次成等差數(shù)列，從第11項起依次成等比數(shù)列，列方程，分別求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；（2）根據(jù)（1）得出數(shù)列{a_n}為：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…，分類討論當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負(fù)數(shù)和當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數(shù)，
可得a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，根據(jù)負(fù)數(shù)項只有九項，我們按負(fù)數(shù)項分類：即可求得結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)由前12項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，從第11項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q，
由，可得，或．
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項均為整數(shù)，故；  所以，．
（2）數(shù)列{a_n}為：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負(fù)數(shù)時，
顯然a_m+a_m+1+…+a_m+p＜0，所以a_ma_m+1…a_m+p＜0，即a_m，a_m+1，…，a_m+p共有奇數(shù)項，即p為偶數(shù)；
又最多有9個負(fù)數(shù)項，所以p≤8，p=2時，經(jīng)驗算只有（-3）+（-2）+（-1）=（-3）•（-2）•（-1）符合，
此時m=7；p=4，6，8時，經(jīng)驗算沒有一個符合；
故當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負(fù)數(shù)時，存在有序數(shù)對（7，2）符合要求．
當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數(shù)時，m≥11且m∈N^*，
a_m+a_m+1+…+a_m+p=2^m-11+2^m-10+…+2^m+p-11=2^m-11（1+2+…+2^p）=2^m-11（2^p+1-1）
因為2^p+1-1是比1大的奇數(shù)，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p能被某個大于1的奇數(shù)（2^p+1-1）整除，
而不存在大于1的奇約數(shù)，故a_m+a_m+1+…+a_m+p≠a_ma_m+1…a_m+p；
故當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數(shù)時，不存在符合要求有序數(shù)對；   
當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)，即a_m，a_m+1，…，a_m+p中含有0時，
有a_ma_m+1…a_m+p=0，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，
因為負(fù)數(shù)項只有九項，我們按負(fù)數(shù)項分類：
含1個負(fù)數(shù)項時，-1，0，1，符合，此時m=9，p=2；
含2個負(fù)數(shù)項時，-2，-1，0，1，2，符合，此時m=8，p=4；
含3個或4個負(fù)數(shù)項時，經(jīng)驗算不存在符合要求的；
含5個負(fù)數(shù)項時，-5，-4，-3-2，-1，0，1，2，4，8，符合，此時m=5，p=9；
含6個及6個以上負(fù)數(shù)項時，經(jīng)驗算不存在符合要求的；
故當(dāng)a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)時，存在三組有序數(shù)對（9，2），（8，4），（5，9）符合要求；
綜上，存在四組有序數(shù)對（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求．
點評：本題是難題，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力和運算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．