Question

(本小題滿分12分)已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。
（1）中利用已知的橢圓的性質得到a,b，c的關系式，解得橢圓方程。
（2）中聯立直線與橢圓的方程組，借助于韋達定理，和OM垂直于ON，得到關系式，從而得到結論。
解：（Ⅰ）由題意得，得.         ………………2分
結合，，.                   ………………3分
所以，橢圓的方程為.                          ………………4分
（Ⅱ）由 得.
設.
所以，                         ………………6分
依題意，，
易知，四邊形為平行四邊形，
所以，                                        ………………7分
因為，，
所以.  ………………8分
即 ，                           ……………9分
將其整理為 .         ………………10分
因為，所以，.    ………………11分
所以，即.