Question

設橢圓的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），右準線l交x軸于點A，且．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由焦點坐標可求得c，進而根據求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先看當直線DE和直線MN與x軸垂直時，可求得四邊形DMEN的面積；進而看直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE的直線方程與橢圓方程聯立消去y，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），進而利用韋達定理可得x₁x₂和x₁+x₂，進而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|進而可表示出四邊形的面積，進而根據均值不等式求得四邊形的面積的范圍，則最大值和最小值可得．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，∴A（a²，0），
∵∴F₂為AF₁的中點
∴a²=3，b²=2
即橢圓方程為．

（Ⅱ）當直線DE與x軸垂直時，|DE|=，
此時，四邊形DMEN的面積為．
同理當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為．
當直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE：y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則
所以，，
所以，，
同理，|MN|=．
所以，四邊形的面積S===，
令，得
因為，
當k=±1時，，且S是以u為自變量的增函數，
所以．
綜上可知，．即四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．涉及了直線與橢圓的關系，考查了學生綜合分析問題和基本運算的能力．