Question

直線

3

x+y-2

3

=0截圓x²+y²=4得的劣弧所對的圓心角為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心C到已知直線的距離d，由垂徑定理及勾股定理求出直線被圓截得的弦長，由弦長等于圓的半徑得到三角形ABC為等邊三角形，即可得到直線被圓截得的劣弧所對的圓心角為60°．

解答：解：過O作OC⊥AB，垂足為點C，
由圓的方程x²+y²=4，得到圓心O的坐標為（0，0），半徑r=2，
∵圓心到直線

3

x+y-2

3

=0的距離d=|OC|=

2 3

2

=

3

，
∴直線被圓截得的弦|AB|=2

r2-d2

=2，
∴△AOB為等邊三角形，即∠AOB=60°，
∴直線被圓截的劣弧

AB

所對的圓心角為60°．
故選C

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及等邊三角形的判定與性質，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，再由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．