Question

A地某校準備組織學生及學生家長到B地進行社會實踐，為便于管理，所有人員必須
乘坐在同一列火車上；根據報名人數，若都買一等座單程火車票需17010元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需11220元；已知學生家長與教師的人數之比為2：1，從A到B的火車票價格（部分）如下表所示：

運行區間		公布票價		學生票
上車站	下車站	一等座	二等座	二等座
A	B	81（元）	68（元）	51（元）

（1）參加社會實踐的老師、家長與學生各有多少人？
（2）由于各種原因，二等座火車票單程只能買x張（x小于參加社會實踐的人數），其余的須買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請你設計最經濟的購票方案，并寫出購買火車票的總費用（單程）y與x之間的函數關系式．
（3）請你做一個預算，按第（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？

Answer 1

分析：（1）設參加社會實踐的老師有m人，學生有n人，則學生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學生都需買二等座學生票，根據題意得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）有兩種情況：①當180≤x＜210時，學生都買學生票共180張，（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②當0＜x＜180時，一部分學生買學生票共x張，其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張，得到解析式是y=-30x+17010；
（3）由（2）小題知，當180≤x＜210時，y=-13x+13950和當0＜x＜180時，y=-30x+17010，分別討論即可．

解答：解：（1）設參加社會實踐的老師有m人，學生有n人，則學生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學生都需買二等座學生票，依題意得：

81(3m+n)=17010 68×3m+51n=11220

，
解得

m=10 n=180

，則2m=20．
答：參加社會實踐的老師、家長與學生各有10、20與180人．
（2）由（1）知所有參與人員總共有210人，其中學生有180人，
①當180≤x＜210時，最經濟的購票方案為：
學生都買學生票共180張，（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票．
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數關系式為：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），
即y=-13x+13950（180≤x＜210）；
②當0＜x＜180時，最經濟的購票方案為：一部分學生買學生票共x張，其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張．
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數關系式為：y=51x+81（210-x），即y=-30x+17010（0＜x＜180）
（3）由（2）小題知，
當180≤x＜210時，y=-13x+13950，由此可見，當x=209時，y的值最小，最小值為11233元，當x=180時，y的值最大，最大值為11610元．
當0＜x＜180時，y=-30x+17010，由此可見，當x=179時，y的值最小，最小值為11640元，當x=1 時，y的值最大，最大值為16980元．
∴可以判斷按（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查分段函數的運用，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．