Question

已知函數．
(Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(Ⅲ）若在區間存在最大值，試構造一個函數，使得同時滿足以下三個條件：①定義域，且；②當時，；③在中使取得最大值時的值，從小到大組成等差數列．（只要寫出函數即可）

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在，且交點縱坐標的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）對參數的值影響函數極值點的存在與否進行分類討論，結合求解導數不等式求相應的單調區間；（Ⅱ）先將曲線在點、處的切線方程求出，并將交點的坐標假設出來，利用交點坐標滿足兩條切線方程，得到兩個不同的等式，然后利用等式的結構進行相應轉化為函數的零點個數來處理；（Ⅲ）可以根據題中的條件進行構造，但要注意定義域等相應問題.
試題解析：（Ⅰ）依題可得 ，
當時，恒成立，函數在上單調遞增；
當時，由，解得或，
單調遞增區間為和．                         4分
（Ⅱ）設切線與直線的公共點為，當時，，
則，因此以點為切點的切線方程為．
因為點在切線上，所以，即．
同理可得方程.                               6分
設，則原問題等價于函數至少有兩個不同的零點.
因為，
當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減．
因此，在處取極大值，在處取極小值．
若要滿足至少有兩個不同的零點，則需滿足解得．
故存在，且交點縱坐標的取值范圍為．                    10分
(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即．                   11分
本題答案不唯一，以下幾個答案供參考：
①，其中；
②其中；
③其中．       14分