Question

【題目】已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題

①f(2014)＋f(－2015)＝0；

②函數f(x)在定義域上是周期為2的函數；

③直線y＝x與函數f(x)的圖象有2個交點；

④函數f(x)的值域為(－1,1)．

其中正確的是(　　)

A. ①② B. ②③

C. ①④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】由于當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

從而當x∈[1,2)時，x－1∈[0,1)，有f(x－1)＝log2x，

又f((x－1)＋1)＝－f(x－1)f(x－1)＝－f(x)＝log2xf(x)＝－log2x

即f(x)＝；

再注意f(x)為定義在R上的偶函數，所以可作出函數f(x)的圖象如下：

對于①f(2014)＋f(－2015)＝f(2×1007＋0)＋f(2015)

＝f(0)＋f(2×1007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0，故①正確；排除B；

對于②由圖象可知函數不是周期函數，故②是錯誤的；排除A、D；

對于③由圖象可知直線y＝x與函數f(x)的圖象只有1個交點，故③錯誤；

對于④由圖象可知函數的值域為(－1,1)，故④正確．

故選C.

點睛: 函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．