Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分別為PA、BC的中點，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=

2

，CD=1．
（1）證明：MN∥平面PCD；
（2）證明：MC⊥BD；
（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證MN∥平面PCD，根據MN?平面MNE，可先證平面MNE∥平面PCD，取AD中點E，連接ME，NE，根據中位線可知ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，滿足平面與平面平行的判定定理，最后根據性質定理可知結論；
（2）以D為坐標原點，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標系，求出

MC

與

BD

，根據

MC

•

BD

=0即可證明MC⊥BD；
（3）先求出平面PBD的法向量，然后求出平面PAB的法向量，設二面角A-PB-D的平面角為θ，最后根據向量的夾角公式求出二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）證明：取AD中點E，連接ME，NE，
由已知M，N分別是PA，BC的中點，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）證明：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如圖，以D為坐標原點，
射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系（4分）
則D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0）C（0，1，0），P（0，0，

2

）（6分）
所以M（

2

2

，0，

2

2

），

BD

=(-

2

，-1，0)，

MC

=(-

2

2

，1，-

2

2

)（7分）
∵

MC

•

BD

=0，所以MC⊥BD（8分）

（3）解：因為ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE，
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分）
由已知E(

2

2

，0，0)，
所以平面PBD的法向量

EC

=(-

2

2

，1，0)（10分）
M為等腰直角三角形PAD斜邊中點，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，
所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，（11分）
所以平面PAB的法向量

MD=

（-

2

2

，0，-

2

2

）
設二面角A-PB-D的平面角為θ，
則cosθ=

EC • MD

| EC || MD |

=

6

6

．
所以，二面角A-PB-D的余弦值為

6

6

．（12分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、直線與直線的位置關系、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．