Question

設復數z=（a²-4sin²θ）+2（1+cosθ）•i，其中a∈R，θ∈（0，π），i為虛數單位．若z是方程x²-2x+2=0的一個根，且z在復平面內對應的點在第一象限，求θ與a的值．

Answer 1

分析：首先求出一元二次方程的虛根，由復數相等的條件列式求解角θ，然后由實部等于1求解a的值．

解答：解：由方程x²-2x+2=0，得
x=

2± 8-(-2)2 i

2

=1±i．
∵z在復平面內對應的點在第一象限，∴z=1+i，
∴1+i=（a²-4sin²θ）+2（1+cosθ）•i，
得

a2-4sin2θ=1 2(1+cosθ)=1

，解得cosθ=-

1

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ=

2π

3

，
∴sin2θ=

3

4

，∴a²=1+4sin²θ=4，故a=±2．
∴θ=

2π

3

，a=±2．

點評：本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，考查了實系數一元二次方程虛根的求法，訓練了復數相等條件的應用，考查了由三角函數值求角，是中低檔題．