Question

已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）若方程有解，求實數m的取值范圍；
（3）若存在實數，使成立，求證：．

Answer 1

（1）遞增區間為，遞減區間為；（2）;（3）詳見解析.

試題分析:（1）對求導可得，令，或，由導數與單調性的關系可知，所以遞增區間為，遞減區間為；
（2）若方程有解有解，令，則原問題轉化為求g（x）的值域，而m只要再g（x）的值域內即可。故對g（x）求導，則令，，所以在遞增，在遞減，，故;
（3）根據的結構，構造輔助函數，則由（2）知，在遞增，在遞減，由條件有，不妨設，則必有，于是，再利用反證法證明，假設，則，
即，令，則有，即 （*），、令.，因為恒成立，所以在上是增函數，所以，所以在上是減函數，故,時，，這與（*）矛盾！所以原不等式得證，即．
試題解析：解：（1），        1分
令，或             3分
所以遞增區間為，遞減區間為          4分
（2），令，則
令，，
所以在遞增，在遞減，                    6分
，故                       8分
(3)令，則由（2）知，在遞增，在遞減.
由條件有，不妨設，則必有，于是        9分
假設，則，
即，令，
則有，即 （*），
令.，      11分
因為恒成立，所以在上是增函數，
所以，所以在上是減函數，
故,時，，這與（*）矛盾！
所以原不等式得證，即．    13分