Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中點，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點F，G，連接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角．
由題意∠PBA=∠BPF，因為sin∠PBA=

PA

PB

，sin∠BPF=

BF

PB

，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四邊形BCDG是平行四邊形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG=

AB2+AG2

=2

5

，BF=

AB2

BG

=

16

2 5

=

8 5

5

．
于是PA=BF=

8 5

5

．
又梯形ABCD的面積為S=

1

2

×（5+3）×4=16．
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

×S×PA=

1

3

×16×

8 5

5

=

128 5

15

．
解法二：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標系，
設PA=h，則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
（Ⅰ）

CD

=（-4，2，0），

AE

=（2，4，0），

AP

=（0，0，h）．
因為

CD

•

AE

=-8+8+0=0，

CD

•

AP

=0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）由題設和第一問知，

CD

，

PA

分別是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜

CD

，

PB

＞|=|cos＜

PA

，

PB

＞|，即|

CD • PB

| CD |•| PB |

|=|

PA • PB

| PA |•| PB |

|．
由第一問知

CD

=（-4，2，0），

PA

=（（0，0，-h），又

PB

=（4，0，-h）．
故|

-16+0+0

2 5 • 16+h2

|=|

0+0+h2

h• 16+h2

|．
解得h=

8 5

5

．
又梯形ABCD的面積為S=

1

2

×（5+3）×4=16．
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

×S×PA=

1

3

×16×

8 5

5

=

128 5

15

．