Question

以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

Answer 1

(1)存在，與；（2）存在，最多有個.

試題分析：（1）這樣的等腰直角三角形存在．直線y=x+1與直線y=-x+1滿足題意；
（2）設出CA所在的直線方程，代入橢圓的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k²-（a₂-1）k+1]=0，討論方程根的情況，即可得出結論．
試題解析：（1）這樣的等腰直角三角形存在。因為直線與直線垂直，且關于軸對稱，所以直線與直線是一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。
（2）設兩點分別居于軸的左，右兩側，設的斜率為，則，所在的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，或，的橫坐標為，，
同理可得，所以由得
，，
當時，（1）的解是無實數解；
當時，（1）的解是的解也是；當時，（1）的解除外，方程有兩個不相等的正根，且都不等于，故（1）有 個正根。
所以符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有個。