Question

20．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式，并畫出的f（x）圖象；
（2）設g（x）=f（x）-k，利用圖象求：當實數k為何值時，函數g（x）有三個零點．

Answer 1

分析 （1）設x＜0，則-x＞0，由條件求得f（x）的解析式，再根據奇函數的性質求出f（x）的解析式．
（2）由題意可得f（x）的圖象和直線y=k有3個交點，數形結合求得k的范圍．

解答 解：（1）設x＜0，則-x＞0，由當x≥0時，f（x）=x²-2x，可得f（-x）=x² +2x，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，故有f（-x）=x² +2x=-f（x），
∴f（x）=-x² -2x，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{-x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=f（x）-k有三個零點，即f（x）的圖象和直線y=k有3個交點．
由于函數f（x）的極大值為f（-1）=1，極小值 f（1）=-1，如圖：
故-1＜k＜1．

點評 本題主要考查求函數的解析式，函數的零點個數的判斷，函數的圖象的交點，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．