Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

又∵∠ACD=∠B，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）

解：∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACB∽△ADC，

∴AC2=ADAB=1×4=4，

∴AC=2．

【解析】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定，證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．（1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性質得出∠B=∠BCO，證出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出結論；（2）證明△ACB∽△ADC，得出AC2=ADAB，即可得出結果．
【考點精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．