Question

【題目】已知函數，為實數.

（1）討論在上的奇偶性；（只要寫出結論，不需要證明）

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）當時，求函數在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）時，奇函數：時，非奇非偶函數；

（2）時，遞增；時，在和上遞增，在上遞減；

（3）當，；當，.

【解析】

（1）因為,可得,對進行討論,結合奇偶函數的定義即可求得答案;

（2）分別討論和兩種情況,即可求得時,函數的單調區間;

（3）結合（2）的結論,根據單調性,即可求得函數在上的最大值.

（1）

當時,,此時是奇函數

當時,是奇函數非奇非偶函數.

（2）

①當時,,

此時，函數在區間和上均為增函數，又該函數在上連續，

所以，函數的單調遞增區間為；

②當時, ，

當時，，當時，，

函數在和上遞增,在上遞減.

綜上所述，時，遞增；時，在和上遞增，在上遞減；

（3）由（2）可知當時,為增函數,

當時,

此時對稱軸為:,

當,此時函數在上遞減,

,

若,解得,此時，

即當時，函數在閉區間上最大值為，

若,解得時,函數在閉區間上最大值為.

綜上所述,當,;

當,.