Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間以及極值；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象是否為中心對稱圖形？如果是，請給出嚴格證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在區(qū)間（-∞，0]和[10，+∞）上遞增
由f′（x）＜0得f（x）在區(qū)間[0，4）和（6，10]上遞減
于是有；
（Ⅱ）因為f（x）圖象上取得極值的兩點的中點為．
下證，函數(shù)f（x）圖象關于此點對稱．
設f（x）的定義域為D，?∈D，有：
所以，函數(shù)y=f（x）的圖象關于點對稱．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的定義域，由f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，由f′（x）＜0得函數(shù)的減區(qū)間，從而可確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）f（x）圖象上取得極值的兩點的中點為．再證明函數(shù)f（x）圖象關于此點對稱．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的中心對稱，正確求導，利用函數(shù)的定義域是關鍵．