Question

已知等差數列{an}滿足：a2＝5，a4＋a6＝22，數列{bn}滿足b1＋2b2＋…

＋2n－1bn＝nan，設數列{bn}的前n項和為Sn.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)求滿足13<Sn<14的n的集合．

 

Answer 1

（1）an＝2n＋1.bn＝ (n≥2)．（2）{n|n≥6，n∈N*}

【解析】(1)設等差數列{an}的公差為d，則a1＋d＝5，(a1＋3d)＋(a1＋5d)＝22.

解得a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1.

在b1＋2b2＋…＋2n－1bn＝nan中，令n＝1，則b1＝a1＝3，又b1＋2b2＋…＋2nbn＋1＝(n＋1)an＋1，

∴2nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan.

∴2nbn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3.

∴bn＋1＝.∴bn＝ (n≥2)．經檢驗，b1＝3也符合上式，

則數列{bn}的通項公式為bn＝.

(2)Sn＝3＋7·＋…＋(4n－1)· n－1， Sn＝3·＋7· 2＋…＋(4n－5)· n－1＋(4n－1) n.

兩式相減得

Sn＝3＋4－(4n－1)· n，∴Sn＝3＋4·－(4n－1) n.∴Sn＝14－.

∴?n∈N*，Sn<14.

∵數列{bn}的各項為正，∴Sn單調遞增．又計算得S5＝14－<13，S6＝14－>13，

∴滿足13<Sn<14的n的集合為{n|n≥6，n∈N*}