Question

已知數(shù)列

1

1×3

，

1

3×5

，

1

5×7

，…，

1

(2n-1)(2n+1)

，…，計(jì)算S₁，S₂，S₃，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

分析：利用數(shù)列的前三項(xiàng)，可計(jì)算S₁，S₂，S₃，從而可猜想S_n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是第二步假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，再使用歸納假設(shè)，證明n=k+1時(shí)，猜想成立．

解答：解：S1=

1

3

，S2=

1

1×3

+

1

3×5

=

2

5

，S3=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

3

7

…（2分）
猜想Sn=

n

2n+1

…（4分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S₁=

1

3

，右邊=

n

2n+1

=

1

3

，猜想成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即Sk=

k

2k+1

，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)

Sk+1=Sk+ 1 (2k+1)(2k+3) = k 2k+1 + 1 (2k+1)(2k+3) = 2k2+3k+1 (2k+1)(2k+3) = (k+1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) = k+1 2(k+1)+1

∴n=k+1時(shí)猜想也成立…（11分）
由（1）（2）可知猜想對(duì)任意n∈N^*成立…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，第二步要使用歸納假設(shè)．