Question

已知函數f(x)＝x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．

(1)設f(x)在x＝s及x＝t處取到極值，其中s＜t，求證：0＜s＜a＜t＜b．

(2)設A(s，f(s))，B(t，f(t))，求證：線段AB的中點C在曲線y＝f(x)上．

(3)若a＋b＜2，求證：過原點且與曲線y＝f(x)相切的兩條直線不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab． 　　依題意知，s，t是二次方程f(x)＝0的兩個實根． 　　因為(0)＝ab＞0，(a)＝a2－ab＝a(a－b)＜0，(b)＝b2－ab＝b(b－a)＞0， 　　所以(x)＝0在區間(0，a)與(a，b)內分別有一個實根． 　　因為s＜t， 　　所以0＜s＜a＜t＜b． 　　(2)由s，t是(x)＝0的兩個實根，知s＋t＝，st＝． 　　所以f(s)＋f(t)＝(s3＋t3)－(a＋b)(s2＋t2)＋ab(s＋t)＝－(a＋b)3＋ab(a＋b)． 　　因為f()＝f()＝－(a＋b)3＋ab(a＋b)＝(f(s)＋f(t))， 　　故AB的中點C(，f())在曲線y＝f(x)上． 　　(3)過曲線上點(x1，y1)的切線方程為y－y1＝[3－2(a＋b)x1＋ab](x－x1)． 　　因為y1＝x1(x1－a)·(x1－b)，又切線過原點，所以－x1(x1－a)(x1－b)＝－x1[3－2(a＋b)x1＋ab]．解得x1＝0，或x1＝．當x1＝0時，切線的斜率為ab；當x1＝時，切線的斜率為－(a＋b)2＋ab．因為a＞0，b＞0，a＋b＜2，所以兩斜率之積[－(a＋b)2＋ab]·(ab)＝(ab)2－(a＋b)2·ab＞(ab)2－2ab＝(ab－1)2－1≥－1．故兩切線不垂直．