Question

河道上有一座圓拱橋，在正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面為4m，拱圈內(nèi)水面寬12m，一條船在水面以上部分高2.5m，船頂部寬4m，故通行無(wú)阻，近日水位暴漲了1.7m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過(guò)橋洞．試問(wèn)：船身應(yīng)該降低多少？

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以拱橋所在的圓心O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)橋拱所在圓的方程為x²+y²=r²，將水面未上漲時(shí)水面與拱橋的交點(diǎn)A（6，r-4），坐標(biāo)代入圓方程算出r=

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2

，從而得出圓方程為x²+y²=（

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2

）²．由此算出x=2時(shí)船頂能通行的高度，由此算出水面上漲時(shí)船身的高度，結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可算出船身應(yīng)降低的距離．

解答：解：根據(jù)題意，以拱橋所在圓的圓心O為原點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)O垂直于水面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)橋拱圓的半徑為r，則圓的方程為x²+y²=r²
水面未上漲時(shí)，水面與拱橋的交點(diǎn)為A（6，r-4），
代入圓方程，得6²+（r-4）²=r²，解之得r=

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2

∴圓方程為x²+y²=（

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2

）²
水面未上漲時(shí)，設(shè)B點(diǎn)在圓周上與船頂同高，得B的縱坐標(biāo)為r-4+2.5=5
設(shè)B（m，5），可得m²+5²=（

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2

）²
解之得|m|=

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2

＞2，故水面未上漲時(shí)船可以通行無(wú)阻
當(dāng)x=2時(shí)，由2²+y²=（

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2

）²，解得y=

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2

≈6.18m
由于水位暴漲了1.7m，可得船身應(yīng)該降低的高度為：5+1.7-6.18=0.52m  
答：在水位暴漲了1.7m的情況下船身應(yīng)該降低的高度約為0.52m．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求水位暴漲的情況下船身應(yīng)該降低的高度，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模等知識(shí)，屬于中檔題．