Question

已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，設函數f(x)的圖象C1與函數g(x)的圖象C2交于兩點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在點M處的切線與C2在點N處的切線互相平行？若存在，求出點R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

不存在

【解析】設點P、Q的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且0＜x2＜x1，則點M、N的橫坐標均為.

∴C1在點M處的切線斜率為k1＝|x＝＝，

C2在點N處的切線斜率為k2＝ax＋b|x＝＋b，

假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線互相平行，

則k1＝k2，即＋b.

∵P、Q是曲線C1、C2的交點，∴

兩式相減，得lnx1－lnx2＝，

即lnx1－lnx2＝(x1－x2) ，

∴lnx1－lnx2＝，即ln

設u＝＞1，則lnu＝，u＞1(*)．

令r(u)＝lnu－，u＞1，則r′(u)＝.

∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上單調遞增，

故r(u)＞r(1)＝0，則lnu＞，

這與上面(*)相矛盾，所以，故假設不成立．

故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行．