Question

若α，β滿足

cos2(α-β)-cos2(α+β)= 1 2 (1+cos2α)(1+cos2β)= 1 3

，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析：根據二倍角公式，利用升角降次化簡cos²（a-β）-cos²（a+β），得到sin2asin2β的值，（1+cos2a）（1+cos2β）利用二倍角公式消去常數，得到一個表達式，然后兩個表達式作除法，化簡可得tanαtanβ的值．

解答：解：cos²（a-β）-cos²（a+β）
=

1+cos2(a-β)

2

-

1+cos2(a+β)

2

=

1

2

[cos（2a-2β）-cos（2a+2β）]
=sin2asin2β
=

1

2

．
又∵（1+cos2a）（1+cos2β）
=2cos²a2cos²β
=

1

3

，
∴

sin2asin2β

2cos2a2sin2β

=

2sinacos2sinβcosβ

2cos2a2sin2β

=tanatanβ．
∴tanatanβ=

1 2

1 3

=

3

2

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數是化簡求值，二倍角公式的靈活運用，升角降次，消去常數的方法，本題中得到了全面體現，是一個典型題目，好題，易錯題．值得總結反思．