Question

【題目】對于函數f（x），若a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構造三角形函數”．已知函數f（x）=是“可構造三角形函數”，則實數t的取值范圍是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

因對任意實數a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t﹣1的符號決定，故分為三類討論，根據函數的單調性求出函數的值域，然后討論k轉化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍．

由題意可得f（a）+f（b）＞f（c）對于a，b，c∈R都恒成立，

由于f（x）1，

①當t﹣1＝0，f（x）＝1，此時，f（a），f（b），f（c）都為1，構成一個等邊三角形的三邊長，

滿足條件．

②當t﹣1＞0，f（x）在R上是減函數，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，

同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．

再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得 2≥t，結合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．

③當t﹣1＜0，f（x）在R上是增函數，t＜f（a）＜1，

同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．

綜上可得，t≤2，

故選：A．