Question

已知函數f（x）=e^x-，（其中a∈R．無理數e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=-時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，試求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數，求得切線的斜率，再利用點斜式，可得切線方程；
（Ⅱ）由f（x）≥0，分離參數可得a≤，確定右邊所對應函數的單調性，求出其最小值，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）a=-時，函數f（x）=e^x-，求導數可得f′（x）=e^x-x+
∴f′（1）=e-，f（1）=e-1
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（e-1）=（e-）（x-1），即（e-）x-y-=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x-x²-1，因為x，所以a≤．
令g（x）=，則g′（x）=．
令h（x）=e^x（x-1）-x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．
因為x，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[，+∞）上單調增
所以h（x）≥h（）=-＞0
所以g′（x）＞0
∴g（x）在[，+∞）上單調增
∴g（x）≥g（）=2-
∴a≤2-
∴a的最大值為2-．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，正確構建函數是關鍵．