Question

（14分）已知：圓C：x²＋（y－a）²＝a²（a＞0），動點A在x軸上方，圓A與x軸相切，且與圓C外切于點M

（1）若動點A的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；
（2）動點B也在x軸上方，且A，B分別在y軸兩側．圓B與x軸相切，且與圓C外切于點N．若圓A，圓C，圓B的半徑成等比數列，求證：A，C，B三點共線；
（3）在（2）的條件下，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線相交于點T，若的最小值為2，求直線AB的方程．

Answer 1

(1) 曲線的方程為 ；(2)見解析；(3)直線的方程為：.

本試題主要是考查了圓錐曲線的方程的求解，以及斜率公式和韋達定理以及三角形的面積公式的綜合運用。
（1）利用設點的坐標，得到關于該點的幾何關系是，代數化，得到結論。
（2）要證明三點共線，只要證明任何兩點的斜率相同即可，結合坐標表示和題目中得到結論
（3）由(2)知三點共線，且直線有斜率，設直線：，聯立得：.結合韋達定理和點到直線的距公式和三角形面積公式得到參數的最值，進而得直線到方程。
解：(1)設則，   
 曲線的方程為……………3分

(2) 同(1)知，動點軌跡也為曲線:…………..4分
設不妨令
由已知得，即…………….. 6分
即三點共線……………………..8分
(3)由(2)知三點共線，且直線有斜率，設直線：，聯立得：.
由題意，為切點，設，不妨令
則： ………………9分
直線，即 ①
同理， 直線： ②，
由①②解得，
即：…………..11分
到直線的距離
令……12分
令則
時，
此時，直線的方程為：…………………………………..14分