Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點。

（1）證明：AE⊥PD；
（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值。

Answer 1

解：（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形 因為E為BC的中點， 所以AE⊥BC 又BC∥AD，因此AE⊥AD 因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PA⊥AE 而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A， 所以AE⊥平面PAD 又PD平面PAD， 所以AE⊥PD。
（2）設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH 由（1）知AE⊥平面PAD， 則∠EHA為EH與平面PAD所成的角 在Rt△EAH中，AE=， 所以當AH最短時，∠EHA最大， 即當AH⊥PD時，∠EHA最大 此時tan∠EHA=， 因此AH= 又AD=2， 所以∠ADH=45°， 所以PA=2 因為PA⊥平面ABCD，PA平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD 過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC， 過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=， 又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°= 又 在Rt△ESO中，cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值為。