Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

     已知函數的反函數.定義：若對給定的實數，函數與互為反函數，則稱滿足“和性質”；若函數與互為反函數，則稱滿足“積性質”.

（1）       判斷函數是否滿足“1和性質”，并說明理由；

（2）       求所有滿足“2和性質”的一次函數；

（3）       設函數對任何，滿足“積性質”.求的表達式.

Answer 1

（1）函數的反函數是，

    ，

而 ，其反函數為

故函數不滿足“1和性質”              …… 4分

(2)設函數滿足“2和性質”，.

,          …… 6分

  而，得反函數， …… 8分

  由“2和性質”定義可知對恒成立.

  即所求一次函數.     ……10分

（3）設且點圖像上，則在函數

圖像上，

故    可得，         ……12分

令，.   ……14分

綜上所述，此時其反函數是，

而故互為反函數.       ……16分

解析:

⑴分別求出的反函數和，然后對照，如果解析式相同，就滿足“1和性質”，否則，不滿足；

⑵知道函數的類型為一次函數，可用待定系數法設出函數解析式，因為滿足“2和性質”，建立方程，求出參數的值；

⑶設出函數圖象上任意一點A，根據反函數的性質，A關于直線y=x對稱的點在其反函數圖象上，進行計算和代換.