Question

已知函數f(x)=ax+

2

x

+6，其中a為實常數．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知a=

3

4

，P₁，P₂是函數f（x）圖象上兩點，若在點P₁，P₂處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；
（3）設定義在區間D上的函數y=s（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=t（x），當x≠x₀時，若

s(x)-t(x)

x-x0

＞0在D上恒成立，則稱點P為函數y=s（x）的“好點”．試問函數g（x）=x²f（x）是否存在“好點”．若存在，請求出所有“好點”坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：討論二次項系數是否為0，然后討論開口方向結合利用二次函數的性質求出a的取值范圍；
方法二：利用參變量分離法進行求解，將a分離出來，然后研究不等式另一側函數的最大值即可求出a的取值范圍；
（2）先利用導數分別求出切線的斜率，然后表示出兩切線方程，最后利用兩平行線的距離公式表示出這兩條切線間距離，再利用基本不等式可求出最大值；
（3）設g（x）存在“好點”P（x₀，y₀），然后根據“好點”的定義建立關系式，討論a的正負可求出“好點”坐標．

解答：解：（1）方法一：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，即為（a-3）x²+6x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
①a=3時，結論成立；
②a＞3時，
函數h（x）=（a-3）x²+6x+2圖象的對稱軸為x=-

6

2(a-3)

＜0，
所以函數h（x）=（a-3）x²+6x+2在（1，+∞）單調遞增，
依題意h（1）＞0，即a＞-5，
所以a＞3；
③a＜3不合要求，
綜上可得，實數a的取值范圍是a≥3．
方法二：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立等價于a＞-

2

x2

-

6

x

+3，
令h(x)=-

2

x2

-

6

x

+3=-2(

1

x

+

3

2

)2+

15

2

因為x＞1，所以0＜

1

x

＜1，故-5＜h（x）＜3
所以a≥3．
（2）f′(x)=

3

4

-

2

x2

設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），在點P₁，P₂處的兩切線互相平行，
則

3

4

-

2

x 2 1

=

3

4

-

2

x 2 2

，所以x₁=x₂（舍去），或x₁=-x₂，
過點P₁的切線l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁），即f'（x₁）x-y+f（x₁）-x₁f'（x₁）=0，
過點P₂的切線l₂：f'（x₂）x-y+f（x₂）-x₂f'（x₂）=0
兩平行線間的距離是d=

|f(x1)-f(x2)-x1f′(x1)+x2f′(x2)|

1+[f′(x1)]2

=

2|( 3 4 x1+ 2 x1 )-x1( 3 4 - 2 x 2 1 )|

1+( 3 4 - 2 x 2 1 )2

=

8 |x1|

25 16 - 3 x 2 1 + 4 x 4 1

=

8

25 16 x 2 1 + 4 x 2 1 -3

，
因為

25

16

x

2 1

+

4

x 2 1

≥2

25 16 x 2 1 • 4 x 2 1

=5，所以d≤

8

5-3

=4

2

，
即兩平行切線間的最大距離是4

2

．
（3）g（x）=x²f（x）=ax³+6x²+2x，設g（x）存在“好點”P（x₀，y₀），
由g'（x）=3ax²+12x+2，得h（x）=g'（x₀）（x-x₀）+g（x₀），
依題意

g(x)-h(x)

x-x0

＞0對任意x≠x₀恒成立，
因為

g(x)-[g′(x0)(x-x0)+g(x0)]

x-x0

=

[g(x)-g(x0)]-g′(x0)(x-x0)

x-x0

=

[(ax3+6x2+2x)-(a x 3 0 +6 x 2 0 +2x0)]-(3a x 2 0 +12x0+2)(x-x0)

x-x0

=[a(x2+x0x+

x

2 0

)+6(x+x0)+2]-(3a

x

2 0

+12x0+2)
=ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)，
所以ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0對任意x≠x₀恒成立，
①若a≤0，ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0不可能對任意x≠x₀恒成立，
即a≤0時，不存在“好點”；
②若a＞0，因為當x=x₀時，ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)=0，
要使ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0對任意x≠x₀恒成立，
必須△=(ax0+6)2+4a(2a

x

2 0

+6x0)≤0(ax0+2)2≤0，所以x0=-

2

a

，
綜上可得，當a≤0時，不存在“好點”；
當a＞0時，存在惟一“好點”為(-

2

a

，

16-4a

a2

)．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及函數的單調性與導數的關系的應用和恒成立問題，恒成立求參數常常利用參變量分離法進行求解，同時考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．