Question

已知函數f（x）=

x2

e

，g（x）=2alnx（e為自然對數的底數，a＞0）
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間，若F（x）有最值，請求出最值；
（2）當a=1時，求f（x）與g（x）圖象的一個公共點坐標，并求它們在該公共點處的切線方程．

Answer 1

分析：首先對于（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間，及函數F（x）的最值，考慮到先列出函數的表達式，再根據表達式求出導函數F′（x），根據導函數在區間的正負性判斷函數的單調區間，再使導函數等于0求出函數的極值，即可得到答案．
對于（2）當a=1時，求f（x）與g（x）的一個公共點，并求它們在該公共點處的切線方程，故根據（1）可判斷方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此點即為f（x）與g（x）的一個公共點．再根據導函數求出公共點處切線．即可根據直線方程的求法求出切線方程．

解答：解：（1）因為F（x）=f（x）-g（x）=

x2

e

-2alnx
所以F′(x)=f′(x)-g′(x)=

2x

e

-

2a

x

=

2(x2-ea)

ex

=

2(x+ ea )(x- ea )

ex

(x＞0，a＞0)
若0＜x＜

ea

，則F'（x）＜0，F（x）在(0，

ea

)上單調遞減；
若x＞

ea

，則F'（x）＞0，F（x）在(

ea

，+∞)上單調遞增．
∴當x=

ea

時，F（x）有極小值，也是最小值，
即F(x)min=F(

ea

)=a-2aln

ea

=-alna，
∴當a＞0時，F（x）的單調遞減區間為(0，

ea

)，
故函數F（x）的單調遞增區間為（

ea

，+∞），最小值為-alna無最大值．

（2）當a=1時，由（1）可知F（x）_min=F（

e

）=0
F(x)min=F(

e

)=0，得f(e)=g(

e

)=1
∴(

e

，1)是f（x）與g（x）圖象的一個公共點．
又∵f′(

e

)=g′(

e

)=

2

e

，
∴f（x）與g（x）的圖象在點（

e

，1）處有共同的切線，
其方程為y-1=

2

e

(x-

e

)，
故y=

2

e

x-1．

點評：此題主要考查利用導函數求閉區間最值的問題，其中涉及到直線方程的求法問題，屬于函數方面的綜合性問題，對學生基礎知識的綜合能力要求較高，屬于中檔題目．