Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：PD⊥面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，從而證得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底邊中線的性質可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
（3）過點A作AF⊥PD，由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一個平面角，用面積法求得AE 和AF，由 sin∠AFE =

AE

AF

 求得結果．

解答：解：（1）證明：PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
（2）證明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中點，故AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
（3）過點A作AF⊥PD，垂足為F，連接EF．
由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一個平面角．
設AC=a，則AE=

2

2

a，AD=

2

3

a，PD=

7 3

a，
從而AF=

PA•AD

PD

=

2

7

a，故 sin∠AFE=

AE

AF

=

14

4

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，找出二面角A-PD-C的平面角是解題的難點，屬于中檔題．