Question

若方程xlg（x+2）=1的實根在區間（k，k+1）（k∈z）上，則 k=（　�。�

A．-2

B．1

C．-2或1

D．0

Answer 1

分析：依據方程的根與零點的對應關系轉化為函數的零點來證明，可構造函數f（x）=xlg（x+2）-1，由零點的存在性定理驗證．

解答：解：由于方程xlg（x+2）=1即方程lg（x+2）=

1

x

，分別作出左右兩邊函數的圖象，
從圖象上可得出：方程xlg（x+2）=1在區間（-2，-1）和（1，2）內各有一個實根．
下面證明：方程xlg（x+2）=1在區間（-2，-1）和（1，2）內各有一個實根?函數f（x）=xlg（x+2）-1，在區間（-2，-1）和（1，2）內各有一個零點
函數f（x）=xlg（x+2）-1在區間（1，2）是增函數，
又f（1）=lg3-1＜0，f（2）=2lg4-1＞0，
即f（1）×f（2）＜0
由零點存在性定理知，函數f（x）=xlg（x+2）-1在區間（1，2）內僅有一個零點
即方程xlg（x+2）=1在區間（1，2）內有且僅有一個實根，
同理得方程xlg（x+2）=1在區間（-2，-1）內有且僅有一個實根，
故選C．

點評：考查方程的根與相應函數零點的對應關系，零點的存在性定理是判斷零點存在與否的重要工具．