Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

(1)求證：BD⊥FG；

(2)確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；

(3)當二面角B－PC－D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)以A為原點，AB、AD、PA所在的直線分別為x、y、z軸，

建立空間直角坐標系A－xyz如圖所示，

 

 

設正方形ABCD的邊長為1，PA＝a，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，a)(a>0)，E，F，G(m，m,0)(0<m<)．

(1)＝(－1,1,0)，

·＝－m＋＋m－＋0＝0.∴BD⊥FG.         ………………4分

(2)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，

由＝λ可得λ＝，m＝，

∴＝，

故當AG＝AC時，FG∥平面PBD.                             ………………8分

(3)設平面PBC的一個法向量為u＝(x，y，z)，

則，

∴取z＝1，得u＝(a,0,1)，

同理可得平面PDC的一個法向量v＝(0，a,1)，

設u，v所成的角為θ，則|cosθ|＝，

∴a＝1，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA＝.

【解析】略