Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；②f（x）在（-1，1）上是單調遞增函數，f(

1

2

)=1．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）為奇函數；
（3）解不等式f（2x-1）＜1．

Answer 1

分析：（1）通過賦值法，x=y=0，求出f（0）=0；
（2）說明函數f（x）的奇偶性，通過令y=-x，推出對于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數．
（3）f（2x-1）＜1即f（2x-1）＜f（

1

2

），根據函數的單調性，即可求滿足f（2x-1）＜1的實數x的集合．

解答：解：（1）取x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x∈（-1，1），則f(x)+f(-x)=f(

x-x

1-x2

)=f(0)=0，
∴f（-x）=-f（x）
則f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（3）不等式可化為

-1＜2x-1＜1 2x-1＜ 1 2

⇒

0＜x＜1 x＜ 3 4

⇒0＜x＜

3

4

∴解集為(0，

3

4

)

點評：本題是綜合題，考查賦值法求函數值的應用，函數奇偶性的判斷與證明，函數圖象的應用，不等式的解法．運算能力，理解能力要求比較高．