Question

【題目】已知函數.

(1)求f(2)，f(x)；

(2)證明：函數f(x)在[1，17]上為增函數；

(3)試求函數f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(2)＝1；.

（2）見解析.

（3）當x＝1時，f(x)有最小值；當x＝17時，f(x)有最大值.

【解析】

令，即可求得，運用換元法，令，則，代入即可求得函數的解析式

利用函數的單調性定義證明即可

利用的結論，即可求得最值

(1)令x＝1，則f(2)＝f(1＋1)＝1.

令t＝x＋1，則x＝t－1，

所以f(t)＝，即f(x)＝.

(2)證明：任取1≤x1≤x2≤17，

因為f(x1)－f(x2)＝－

＝.

又1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

所以＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函數f(x)在[1，17]上為增函數．

(3)由(2)可知函數f(x)在[1，17]上為增函數，

所以當x＝1時，f(x)有最小值；

當x＝17時，f(x)有最大值.