Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱底面．已知是 的中點，．

（1）求證：平面平面；

（2）求證：A1C∥平面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）通過證明AD⊥平面BB1C1C，得出平面AB1D⊥平面BB1C1C；

（2）連接A1B，設A1B∩AB1=E，連接DE，易證 DE∥A1C，故而A1C∥平面AB1D；

（3）根據 求出棱錐的體積

（1）證明：由已知為正三角形，且D是BC的中點，所以．

因為側棱底面，，所以底面．

又因為底面，所以.而,所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（2）證明：連接，設，連接．

由已知得，四邊形為正方形，則為的中點.

因為是的中點，所以．

又因為平面AB1D，平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．

（3）由（2）可知A1C∥平面AB1D．，所以與到平面AB1D的距離相等，

所以．

由題設及，得，且．

所以 ，

所以三棱錐的體積為．