Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，且平面 平面， 為中點， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角大小滿足，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由正三角形性質可得，再利用面面垂直的性質定理得平面，從而，則 ，由線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根據二面角的平面角大余弦值列方程求出，利用棱錐的體積公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）取中點為， 中點為，

由側面為正三角形，且平面平面知平面，故，

又，則平面，所以，

又，則，又是中點，則，

由線面垂直的判定定理知平面，

又平面，故平面平面.

（Ⅱ）

如圖所示，建立空間直角坐標系，

令，則.

由（Ⅰ）知為平面的法向量，

令為平面的法向量，

由于均與垂直，

故即解得

故，由 ，解得.

故四棱錐的體積.

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角以及棱錐的體積公式，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.