Question

  已知函數f（x）=（k為常數，e=2．71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（l,f（l））處的切線與x軸平行．

  （Ⅰ）求k的值；

  （Ⅱ）求f（x）的單調區間；

  （Ⅲ）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數．證明：對任意0<x<1，g（x）<1 +e^－2

Answer 1

解：（I），

由已知，，∴.

（II）由（I）知，.

設，則，即在上是減函數.

由知，當時，從而；

當時，從而.

綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.………………（8分）

（III）由（II）可知當時，中的分母＞1，且，

∴.

設，，則.

當時，；當時，.

所以，當時，取得最大值.

所以.

綜上，對任意，.