Question

（本小題滿分14分）已知函數，其中是的導函數。  （1）若在處的導數為4，求實數的值；（2）對滿足的一切的值，都有，求實數的取值范圍；（3）設，當實數在什么范圍內變化時，函數的圖象與直線只有一個公共點

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

(1) ,,;(4分)

(2)    ，

    對滿足的一切的值，都有,即 對于 都有;

解法1：上述條件等價于在上;………(6分)

     明顯的,當時,不滿足條件;   當時, 在上上單調遞增,

       則,解得:, 所以 ;

    當時, 在上上單調遞減,

      則,解得: ,

      所以不存在；  綜上所得，實數的取值范圍是;……(10分)

解法2：又由是關于的一次函數，因而是一個單調函數，它的最值在定義域的端點得到；所以只需  即……(6分)解得：

故實數的取值范圍是;……(10分)

  （3）,,,

       當,明顯的與有且只有一交點;

    當時,令,解得:,

                  令,解得: ;

      在上單調遞增,在上單調遞減,

        若時，無限大；且與只有一個公共點,

只要滿足：，解得： 所以 ；

  當 時, 令,解得:,

  令,解得: ;

       在上單調遞增,在上單調遞減,

若時，無限大；且與只有一個公共點,

只要滿足：,解得:  所以 ；

    綜上所述, 實數的取值范圍是:  ………(14分)