Question

已知集合的元素全為實數，且滿足：若，則。

（1）若，求出中其它所有元素；

（2）0是不是集合中的元素？請你設計一個實數，再求出中的所有元素？

（3）根據（1）（2），你能得出什么結論。

 

Answer 1

【答案】

（1）中元素為（2）（3）A中的元素為4的倍數

【解析】本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中根據已知中若a∈A，則

∈A，將已知條件代入進行遞推是解答本題的關鍵，在（3）的解答中易忽略使

三式均有意義時，對a的限制，而不能得到滿分．

（1）由已知中若a∈A，則 ∈A，由a=2∈A，可得 ，再由

2∈A，進而得到A中的所有元素；

（2）根據已知中若a∈A，則 ∈A，令0∈A，可得-1∈A，根據此時

中分母為0，式子無意義，即可得到結論；

（3）根據已知中若a∈A，則 ∈A，結合（1）的結論可得 ∈A，而根據（2）的結論，可得要使 三式,均有意義，應有a≠0，a≠±1

解：(1)由，則，又由，得,再由

得，而，得，故中元素為．… 4分

(2) 不是的元素．若，則，而當時，不存在，故0不是的元素．取，可得．……………… 8分

(3) 猜想：①中沒有元素；②已知A中的一個元素可得其余3個，且每兩個互為負倒數．③A中元素個數為4的倍數。………10分

①由上題知：．若，則無解．故……12分

②設，則，

且．

顯然．若，則，得：無實數解．

同理，．

故四個互不相等的數．

故A中的元素為4的倍數……………… 14分