Question

如果我們把體積和表面積數值相等的幾何體叫做標準幾何體，那么在正方體、等邊圓柱（母線長等于底面圓直徑的圓柱）、球三種幾何體中有無這樣的標準幾何體？

Answer 1

分析：分別設出正方體的棱長，等邊圓柱的底面半徑，球的半徑，分別計算出其表面積和體積，根據標準幾何體構造方程，根據方程是否有解可得答案．

解答：解：設正方體的棱長為a，
則其體積V=a³，表面積S=6a²，
若a³=6a²，解得a=6
故正方體的棱長為6時為標準幾何體；
設等邊圓柱的底面半徑為a，
則其母線長為2a，其其體積V=2πa³，表面積S=6πa²，
若2πa³=6πa²，解得a=3
故等邊圓柱的底面半徑為3時為標準幾何體；
設球的半徑為a，
則其體積V=

4π

3

a³，表面積S=4πa²，
若

4π

3

a³=4πa²，解得a=3
故球半徑為3時為標準幾何體
綜上正方體的棱長為6時為標準幾何體；等邊圓柱的底面半徑為3時為標準幾何體；球半徑為3時為標準幾何體．

點評：本題考查的知識點是棱柱、圓柱和球的體積和表面積公式，正確理解標準幾何體的定義是解答的關鍵．