Question

函數，其圖象在處的切線方程為．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若函數的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，且，
∴即解得，，
∴．……………………………………………………………4分
（Ⅱ）由，可得，
，
則由題意可得有三個不相等的實根，
即的圖象與軸有三個不同的交點，
，則的變化情況如下表．

				4
	＋	0	－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數的極大值為，極小值為．……………………6分
的圖象與的圖象有三個不同交點，則有：
解得．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在點P滿足條件．……………………………………………………………9分
∵，∴，由，得，．當時，；當時，；當時，．可知極值點為，，線段AB中點在曲線上，且該曲線關于點成中心對稱．證明如下：∵，∴
，∴．
上式表明，若點為曲線上任一點，其關于的對稱點也在曲線上，曲線關于點對稱．故存在點，使得過該點的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，這兩個封閉圖形的面積相等．…………14分

略