Question

已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上，F₁，F₂分別是橢圓C左、右焦點，M橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為8

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點Q的坐標為（1，0）存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點P坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因為M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4
∴

bc=4 b2+c2=8

，
∴b=c=2，a=2

2

，
∴所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．
設圓Q的半徑為r，點P（x₀，y₀），
因為圓Q與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4 2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|
∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18 x02 8 + y02 4 =1

解得x0=2，y0=±

2

當P（2，

2

）時，直線PF₁的方程為：x-2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；當P（2，-

2

）時，直線PF₁的方程為：x+2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；
所以存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，點P（2，±

2

），圓的方程為：（x-1）²+y²=1．