Question

如圖，已知半徑為r的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交點為P．

（1）若四邊形ABCD中的一條對角線AC的長度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當點P運動到什么位置時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對于之前小題的研究結論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設平面直角坐標系中，已知橢圓（a＞b＞0）的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交于點P．試提出一個由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為對角線互相垂直的四邊形ABCD面積，由于|AC|=d為定長，當|BD|最大時，四邊形ABCD面積S取得最大值．由圓的性質，垂直于AC的弦中，直徑最長，由此能求出四邊形ABCD面積的最大值．
（2）由題意，當點P運動到與圓心M重合時，對角線AC和BD的長同時取得最大值|AC|=|BD|=2r，由此能求出四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為2r²．
（3）類比猜想1：若對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD中的一條對角線長確定時，當且僅當另一條對角線通過橢圓中心時，該橢圓內接四邊形面積最大；類比猜想2：當點P在橢圓中心時，對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD的面積最大；以上兩個均為正確的猜想，要證明以上兩個猜想，都需先證：橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．類比猜想3：當點P•在橢圓中心，且橢圓內接四邊形的兩條互相垂直的對角線恰為橢圓長軸和短軸時，四邊形面積取得最大值2ab．要證明此猜想，也需先證“橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．”
解答：解：（1）因為對角線互相垂直的四邊形ABCD面積，
而由于|AC|=d為定長，
則當|BD|最大時，四邊形ABCD面積S取得最大值．由圓的性質，垂直于AC的弦中，直徑最長，
故當且僅當BD過圓心M時，四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為dr．
（2）由題意，不難發現，當點P運動到與圓心M重合時，對角線AC和BD的長同時取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此時四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為2r²．
（3）類比猜想1：若對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD中的一條對角線長確定時，當且僅當另一條對角線通過橢圓中心時，該橢圓內接四邊形面積最大．
類比猜想2：當點P在橢圓中心時，對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD的面積最大．
以上兩個均為正確的猜想，要證明以上兩個猜想，都需先證：橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．
證：設橢圓的方程為（a＞b＞0），平行弦MN的方程為y=kx+m，
聯立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0⇒（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則
=
=
=
由于平行弦的斜率k保持不變，故可知當且僅當m=0時，即當直線經過原點時，
|MN|取得最大值（*）．特別地，當斜率不存在時，此結論也成立．
由以上結論可知，類比猜想一正確．又對于橢圓內任意一點P構造的對角線互相垂直的橢圓內接四邊形，我們都可以將對角線平移到交點與橢圓中心O重合的橢圓內接四邊形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有．即證明了猜想二也是正確的．
類比猜想3：當點P•在橢圓中心，且橢圓內接四邊形的兩條互相垂直的對角線恰為橢圓長軸和短軸時，四邊形面積取得最大值2ab．
要證明此猜想，也需先證“橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．”在此基礎上，可參考以下兩種續證方法．
證法一：當點P在橢圓中心時，不妨設對角線AC所在直線的斜率為k．
（i）當k=0時，AC即為橢圓長軸，又AC⊥BD，故BD是橢圓的短軸．
所以此時橢圓內接四邊形ABCD的面積為S_ABCD=2ab．
（ii）當k≠0時，對角線BD的斜率為．由此前證明過程中的（*）可知，，
若將代換式中的k，則可得弦BD的長度，．
所以，
=
=
=
=
由k²+1＞1⇒⇒，
則，
綜上（i）和（ii），故可證明猜想三正確．
證法二：如圖，四邊形對角線交點P與橢圓中心重合．

由對稱性，不妨設橢圓上的點A的坐標為（acosα，bsinα），；
相鄰的點B坐標為（acosβ，bsinβ），．由對稱性可知，
且當時，S_ABCD取得最大值2ab．
又因為OA⊥OB，故．
由，
所以
故只有當sin2α=0時才滿足，
而因為，
故只有當α=0時成立．即由橢圓參數方程的定義，當且僅當點A和點B分別落在橢圓長軸和短軸頂點上時，猜想3正確．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行類比猜想．