Question

圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有一條的為第一層，有兩條的為第二層，以此類推，豎直線段有n條的為第n層，每一層的豎直通道從左到右分別稱為第1通道、第2通道，…，現在有一個小球從入口向下（只能向下，不能向上）運動，小球在每個交點處向左到達下一層或者向右到達下一層的可能性是相同的．小球到達第n層第m通道的不同路徑數稱為a_n，m，如小球到達第二層第1通道和第二層第2通道的路徑都只有一種情況，因此，a_2，1=1，a_2，2=1．
求：（1）a_3，1，a_3，2，a_3，3；
（2）a_5，2，以及小球到達第5層第2通道的概率；
（3）猜想a_n，2（n≥2），并證明；
（4）猜想a_n，3（n≥3）（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）小球到達第三層第1通道和第三層第2通道的路徑、第三層第3通道的路徑的情況一一算出即可；
（2）小球到達第五層第2通道的情況數是C₄¹；且每一個分叉處小球落入那一個通道的概率是相同的，根據獨立重復試驗的概率公式得到結果，
（3）根據小球到達第n層第2通道的情況數是C_n-1¹，推出具有一般性的結論．
（4）根據題意知小球到達第n層第3通道的情況數是C_n-1²，推出具有一般性的結論．

解答：解：（1）由題意知，小球到達第三層第1通道的情況數只有一種，
∴a_3，1=1，
小球到達第三層第2通道的情況數只有二種
∴a_3，2=2，
小球到達第三層第3通道的情況數只有一種
∴a_3，3=1；
（2）a_5，2=4，且每一個分叉處小球落入那一個通道的概率是相同的，
根據獨立重復試驗的概率公式得
小球到達第5層第2通道的概率為：
4×（

1

2

）⁴=

1

4

，
（3）猜想a_n，2=C_n-1¹=n-1（n≥2），
∵本圖中通道的不同路徑數正是楊輝三角數，
根據楊輝三角數可知：
∴第n行的第2個二項式系數為C_n-1¹=n-1；
（4）由（3）可知，根據楊輝三角數，
小球到達第n層第3通道的情況數為：C_n-1²
所以猜想小球到達第n層第3通道的情況數：a_n，3=C_n-1²（n≥3）．

點評：本題考查楊輝三角數，考查獨立重復試驗的概率公式，考查歸納推理，本題的題意比較好，容易引起學生的興趣．