Question

如圖2-3-15,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為直徑,∠CAE=∠B.

圖2-3-15

(1)求證:AE與⊙O相切于點(diǎn)A.

(2)當(dāng)AB不是直徑時(shí),其他條件不變,結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)證明:∵AB是直徑,

∴∠C=90°.

∴∠B+∠BAC=90°.

又∵∠B=∠CAE,∴∠BAC+∠CAE=90°.

∴AB⊥AE.

∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A.

(2)解析:當(dāng)AB不是直徑時(shí),結(jié)論仍然成立,如圖2-3-16,2-3-17分兩種情況,證明方法相同.

       

            圖2-3-16                              圖2-3-17

證明:連結(jié)AO,并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D,

∵AD是直徑,∴∠D+∠DAC=90°.

又=,∴∠B=∠D.

∵∠B=∠CAE,∴∠CAE+∠DAC=90°.

∴OA⊥AE.

∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A.