Question

在△ABC中，A（cosx，cos2x），B（-

3

sinx，-cosx），C（λ，1），0≤x≤π，若△ABC的重心在y軸負半軸上，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：由題知，△ABC的重心G在y軸的負半軸上，故其橫坐標為0，縱坐標為負數，利用重心坐標公式，用三個頂點的坐標表示出重心的坐標，根據坐標的符號建立不等式，解出x的取值范圍．再得到：λ=

3

sinx+cosx，

π

3

＜x＜

π

2

，先利用正弦的和角公式化簡，再由正弦函數的性質求出λ的 取值范圍．

解答：解：△ABC的重心G在y軸的負半軸上．
則

cosx- 3 sinx+λ

3

=0，且

cos2x-cosx+1

3

＜0，0≤x≤π
所以  2cos²x-1-cosx+1＜0，即cosx（2cosx-1）＜0，0＜cosx＜

1

2

，故

π

3

＜x＜

π

2

∴λ=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)
∵

π

3

＜x＜

π

2

，

π

6

＜x-

π

6

＜

1

3

π，

1

2

＜sin(x-

π

6

)＜

3

2

，1＜2sin(x-

π

6

)＜

3

故 1＜λ＜

3

，
λ的取值范圍是（1，

3

）．

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，解題的關鍵是掌握三角形的重心公式及三角函數的恒等變換公式，正弦函數的單調性等，本題是三角函數公式的綜合運用題，考查了運用公式變形的能力