Question

設函數f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數，且函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程為

x=- 2 3 + 1 3 t y=t

(t為參數)
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，1]都有f（x）≤

k

x

成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求a，b，c的值，可由函數f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數，且函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x+2轉化為方程解出a，b，c的值；
（2）若對任意x∈（0，1]都有 f（x）≤

k

x

成立，求實數k的取值范圍，可轉化為對任意x∈（0，1]都有xf（x）≤k，下轉化為求函數xf（x）在（0，1]的最大值，判斷出參數的取值范圍問題；
（3）若對任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求實數m的取值范圍，可先將問題轉化為

m≥-x2- 16 x +6 m≤-x2+ 16 x +6

對任意x∈（0，3]恒成立，求出參數m的取值范圍來．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），∴c=0．                                       （2分）
又f（x）在x=1處的切線方程為y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴

3a+b=3 a+b=5

得

a=-1 b=6

．                        （5分）
（2）f（x）=-x³+6x，
依題意 -x3+6x≤

k

x

對任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤k對任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即  k≥-（x²-3）²+9對任意x∈（0，1]恒成立，∴k≥5．                                         （9分）
（3）|f（x）-mx|≤16，即-16≤f（x）-mx≤16，
∴

-x3+6x-mx≤16 -x3+6x-mx≥-16

，
即

m≥-x2- 16 x +6 m≤-x2+ 16 x +6

對任意x∈（0，3]恒成立，（11分）
記 g(x)=-x2-

16

x

+6，其中x∈（0，3]，則  g′(x)=-2x+

16

x2

=-

2

x2

(x3-8)．
∴當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上單調遞增，
當x∈（2，3）時，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上單調遞減，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，則m≥-6．    （13分）
記 h(x)=-x2+

16

x

+6，
其中x∈（0，3]，則  h′(x)=-2x-

16

x2

＜0，
所以 h（x）在（0，3）上單調遞減，
∴即h（x）在（0，3]上的最小值是 h(3)=

7

3

，則 m≤

7

3

；（16分）
綜上，可得所求實數m的取值范圍是[-6，

7

3

]．（18分）

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．