Question

已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點，過P作圓C的切線，切點為A、B，記：四邊形PACB的面積為f（P）
（1）當P點坐標為（1，1）時，求f（P）的值；
（2）當P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運動時，求f（P）最小值；
（3）當P（x₀，y₀）在圓（x+4）²+（y-1）²=4上運動時，指出f（P）的取值范圍（可以直接寫出你的結果，不必詳細說理）；
（4）當P（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+y²=1上運動時f（P）=5是否能成立？若能求出P點坐標，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：通過△PAC，△PBC是兩個全等直角三角形求出f（P）的表達式，
（1）當P點坐標為（1，1）時，求出|PC|，即可求f（P）的值；
（2）當P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運動時，利用點到直線的距離公式求出距離最小值，即可求f（P）最小值；
（3）當P（x₀，y₀）在圓（x+4）²+（y-1）²=4上運動時，求出|CD|，|PC|的范圍，即可指出f（P）的取值范圍；
（4）利用f（P）=5求出pc，通過聯立方程組利用判別式判斷P復數存在．

解答：解：因為△PAC，△PBC是兩個全等直角三角形，
∴f（P）=2S_△PAC=|PA|•|AC|=|PA|=

PC2-1

              …（3分）
（1）∵P（1，1），C（0，4），∴|PC|=

10

，∴f（P）=3             …（5分）
（2）P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運動時，|PC|的最小值為點C到直線3x+4y-6=0的距離d，d=2，
∴f（P）的最小值為

3

                      …（8分）
（3）P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=4上運動時，|CD|=5，
|PC|∈[3，7]，f（P）∈[2

2

，4

3

]…（11分）
（4）f（p）=5?|PC|²=26?x₀²+（y₀-4）²=26，

x 2 0

4

+

y

2 0

=1代入得：
3y₀²+8y₀+6=0，△=-8＜0，故滿足條件的P點不存在．      …（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離函數表達式值的范圍的求法，考查分析問題解決問題的能力．